數學

非傳遞性骰子(nontransitive dice)是一個有名的機率悖論。若將A、B兩顆骰子對弈時「A擲出較大點數的機率大於B」之情形，定作A優於B，在一組非傳遞性骰子中，各骰子間的優劣關係不符合遞移律，即不存在最優的骰子，致使第二位玩家必有較高機率勝出。本研究由已知的非傳遞性骰子出發，觀察一系列的特性，進一步探討不限顆數n面骰的最小勝率上界，及限定顆數為三顆時的最小勝率上界。最後，發掘骰子間優勢勝率的新性質。

探討不限顆數非傳遞性n面骰的最小勝率上界，以及限定非傳遞性骰子顆數為三顆時的最小勝率上界，並給定n值進行驗證。

1. 一組非傳遞性n面骰中，最小勝率的上界為\(⌊(3n^2-2n)/4⌋\over n^2 \) 。故不存在對弈之最小勝率大於0.75的非傳遞性骰子。

2. 對於不限顆數的3、4、6面骰，最小勝率皆可達上界，亦存在優勢勝率皆同為上界的非傳遞性骰子。

3. 三顆四面骰與三顆六面骰構成的非傳遞性骰子，最小勝率最大值分別為\(9\over 16\)與\(21\over 36\)，無法達到上界\(10\over 16\)與\(24\over 36\) 。

1. 未來可研究不同面數n的非傳遞性骰子間，優勢勝率的關係。

2. 未來可研究最小勝率上界與非傳遞性骰子組成顆數d的關係。